Demostración del Volumen del Cono

Continuamos con las demostraciones de integrales, en esta ocasión pasamos al tema del cálculo de revoluciones, en este caso el volumen del cono, sin ningún preámbulo comenzamos.

Volumen del Cono

Representación Gráfica

Para la representación gráfica he utilizado la herramienta Geogebra, comparto el enlace con ustedes: https://www.geogebra.org/m/xa43BaV6, recordemos la definición de la integral de una revolución dada de la siguiente manera \( \int_{a}^{b} \pi \left(f(x)\right)^{2}\mathrm{d}x \).

De la imagen solo tomaremos la representación gráfica, no entremos en detalle con los valores usados, más bien definamos generalidades, por ejemplo, en el plano cartesiano, el radio es la altura (Osea el eje Y), mientras que la altura del cono es la base (Osea el eje X), la función en relación con las constantes es la siguiente \( f(x)=\frac{r}{h}x \). Entendido esto podemos sustituir en la definición de revolución obteniendo la siguiente integral a resolver \( \int_{0}^{h} \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^{2} \mathrm{d}x \), comencemos a resolverla.

\( \int_{0}^{h} \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^{2} \mathrm{d}x= \frac{\pi r^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2}\mathrm{d}x= \frac{\pi r^{2}}{h^{2}} \frac{x^{3}}{3} |_{0}^{h}= \frac{\pi r^{2}}{h^{2}} \left(\frac{h^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}\right)= \frac{\pi r^{2}}{h^{2}} \left(\frac{h^{3}}{3}\right)= \frac{\pi r^{2}h}{3} \)

En realidad no era tan dificil como parecía, para hacer una comprobación completa de la fórmula, veamos las misma integral, pero planteada de la siguiente forma.

Representación Gráfica

La función utiliza la misma relación, pero ahora partimos de un decremento desde el radio, osea que tendríamos \( f(x)=r – \frac{r}{h}x \), aplicamos la definición y obtenemos la siguiente integral \( \int_{0}^{h} \pi \left(r – \frac{r}{h}x\right)^{2} \mathrm{d}x \). Antes de resolverla hagamos usado del método de cambio de variable, optaré por por utilizarlo, ya que el desarrollar el binomio cuadrado será un proceso tedioso, comencemos obteniendo las sustituciones.

\( u=r – \frac{r}{h}x\therefore \mathrm{d}u= -\frac{r}{h} \mathrm{d}x \therefore \mathrm{d}x=-\frac{h}{r}\mathrm{d}u \)

Calculamos los límites partiendo de las sustituciones obtenidas.

\( u=r – \frac{r}{h}x\\ u_{0}=r – \frac{r}{h}\left(0\right)=r-0=r \\ u_{h}=r – \frac{r}{h}\left(h\right)=r-r=0 \)

Aplicando las sustituciones y los nuevos límites obtemos la siguiente integral \( \int_{r}^{0} -\pi \frac{h}{r} u^{2} \mathrm{d}u \) que comenzaremos a resolver en seguida.

\( \int_{r}^{0} -\pi \frac{h}{r} u^{2} \mathrm{d}u= \frac{-\pi h}{r}\int_{r}^{0} u^{2} \mathrm{d}u = \frac{-\pi h}{r} \frac{u^{3}}{3} |_{r}^{0} = \frac{-\pi h}{r} \left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{r^{3}}{3}\right) = \frac{-\pi h}{r} \left(-\frac{r^{3}}{3}\right)= \frac{\pi r^{2}h}{3} \)

Llegamos al mismo resultado, con estas resoluciones podemos tener una demostración completa.

El artículo ha concluido, agradezco la atención prestada y espero que haya sido de utilidad mi aporte, cualquier comentario me lo puedes enviar y con gusto responderé.

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