Cálculo del Área del Segmento del Círculo mediante Integrales

Continuamos con las demostraciones de integrales, tomaré como referencia el artículo de la demostración del área del círculo, en esta ocasión retomamos el círculo, pero esta vez con el área del segmento, sin ningún preámbulo comenzamos.

Área del Segmento del Círculo

Representación Gráfica

La integral definida a calcular tiene como límites radio menos \( a \) (Longitud del segmento) y el radio \( 2\int_{r-a}^{r} \sqrt{r^{2}-x^{2}}\mathrm{d}x \), multiplicamos la integral por 2, para tomar en cuenta la superficie de abajo.

Reutilizamos las sustituciones trigonométricas.

\( \sin{\alpha}=\frac{x}{r}\therefore x=r \sin{\alpha}\therefore \mathrm{d}x=r\cos{\alpha}\mathrm{d}{\alpha}\\ \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}{r} \therefore \sqrt{r^{2}-x^{2}}=r\cos{\alpha} \)

Calculamos los límites partiendo de las sustituciones obtenidas.

\( \alpha=\arcsin{\frac{x}{r}}\\ \alpha_{r-a}=\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}=\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}\\ \alpha_{r}=\arcsin{\frac{r}{r}}=\arcsin{1}=90^{\circ}=\frac{\pi}{2} \)

Antes de continuar, me parece interesante resaltar el cálculo del límite \(r-a\), el valor obtenido del arcoseno estará en grados, cancelamos la unidad con la equivalencia que nos dice que \( \pi \) es igual a \( 180^{\circ} \).

Aplicamos las sustituciones, y usamos la identidad trigonométrica \( \cos^{2}{\alpha}=\frac{1}{2}\left(1+\cos{2\alpha}\right) \).

\( 2\int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}} \left(r\cos{\alpha}\right)\left(r\cos{\alpha} \mathrm{d}\alpha\right)\\ = 2r^{2}\int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}{\alpha} \mathrm{d}\alpha\\ = 2r^{2}\int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}(1+\cos{2\alpha}) \mathrm{d}\alpha\\ = r^{2}\int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos{2\alpha}) \mathrm{d}\alpha\\ = r^{2}\left(\int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\alpha+\int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{2\alpha} \mathrm{d}\alpha\right) \)

Una vez aplicadas las sustituciones podemos comenzar a resolver.

\( r^{2}\left(\int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\alpha+\int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{2\alpha} \mathrm{d}\alpha\right) \\\\ = r^{2}\left(\alpha \left.\right|_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{2\alpha} \mathrm{d}\alpha\right)\\ = r^{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}\right)+\int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{2\alpha} \mathrm{d}\alpha\right]\\ \)

Nos detenemos en esta parte porque calcularemos la integral \( \int_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{2\alpha} \mathrm{d}\alpha \) la cual podemos resolver mediante cambio de variable, comenzamos obteniendo las sustituciones.

\( u=2 \alpha\therefore \mathrm{d}u=2 \mathrm{d}\alpha \therefore \mathrm{d}\alpha=\frac{\mathrm{d}u}{2} \)

Calculamos los límites partiendo de las sustituciones obtenidas.

\( u=2 \alpha\\ u_{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}}= 2(\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}})= \arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{90^{\circ}}= 2\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\\ u_{\frac{\pi}{2}}= 2\left(\frac{\pi}{2}\right)= \pi= 180^{\circ} \)

Retomamos el procedimiento aplicando las sustituciones.

\( r^{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}\right)+\int_{2\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}^{180^{\circ}} \cos{u} \left(\frac{\mathrm{d}u}{2}\right)\right]\\= r^{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}\right)+\frac{1}{2}\int_{2\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}^{180^{\circ}} \cos{u} \mathrm{d}u\right]\\= r^{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}\right)+\frac{1}{2} \sin{u} |_{2\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}^{180^{\circ}} \right]\\= r^{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}\right)+\frac{1}{2} \left(\sin{180^{\circ}}-\sin{\left(2\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\right)}\right) \right]\\= r^{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}\right)+\frac{1}{2} \left(0-\sin{\left(2\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\right)}\right) \right]\\= r^{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{180^{\circ}}\right)-\frac{1}{2} \sin{\left(2\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\right)} \right]\\= r^{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\centerdot\frac{\pi}{2}\centerdot\frac{1}{90^{\circ}}\right)-\frac{1}{2} \sin{\left(2\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\right)} \right]\\= r^{2}\left[\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}{90^{\circ}}\right)-\frac{1}{2} \sin{\left(2\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\right)} \right] \)

Aplicamos la identidad de ángulo doble \( \sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \), para hacer uso de esta, tendremos en cuenta que \( \alpha = \arcsin{\frac{r-a}{r}} \).

\( r^{2}\left[\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}{90^{\circ}}\right)-\frac{1}{2} \centerdot 2\sin{\left(\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\right)}\cos{\left(\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\right)} \right]\\=r^{2}\left[\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}{90^{\circ}}\right)-\frac{r-a}{r} \centerdot \cos{\left(\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}\right)} \right] \)

Aplicamos la identidad \( \cos{\arcsin{x}} = \sqrt{1-x^{2}} \), de aquí en adelante habrá que prestar mucha atención en la radical, ya que aplicaremos distintas factorizaciones y distribuciones de producto.

\( r^{2}\left[\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}{90^{\circ}}\right)-\frac{r-a}{r}\sqrt{1-\left(\frac{r-a}{r}\right)^{2}} \right]\\=r^{2}\left[\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}{90^{\circ}}\right)-\frac{r-a}{r}\sqrt{1-\frac{\left(r-a\right)^{2}}{r^{2}}} \right]\\=\frac{\pi r^{2}}{2}\left(1-\frac{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}{90^{\circ}}\right)-r\left(r-a\right)\sqrt{\frac{r^{2}-\left(r-a\right)^{2}}{r^{2}}}\\=\frac{\pi r^{2}}{2}\left(1-\frac{\arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}{90^{\circ}}\right)-\left(r-a\right)\sqrt{r^{2}-\left(r-a\right)^{2}}\\=\frac{\pi r^{2}}{2}\left(\frac{90^{\circ} – \arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}{90^{\circ}}\right)-\left(r-a\right)\sqrt{r^{2}-\left(r-a\right)^{2}}\\=\pi r^{2}\left(\frac{90^{\circ} – \arcsin{\frac{r-a}{r}}^{\circ}}{180^{\circ}}\right)-\left(r-a\right)\sqrt{r^{2}-\left(r-a\right)^{2}} \)

Listo, obtenemos nuestra integral que puede actuar como fórmula, recomiendo usar el penúltimo paso, ya que podemos usar a \( r-a \) como constante, la nombraré \( k \) de la siguiente forma.

\(k=r-a\\ A=\pi r^{2}\left(\frac{90^{\circ} – \arcsin{\frac{k}{r}}^{\circ}}{180^{\circ}}\right)-k\sqrt{r^{2}-k^{2}} \)

El artículo ha concluido, agradezco la atención prestada y espero que haya sido de utilidad mi aporte, cualquier comentario me lo puedes enviar y con gusto responderé.

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